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Grundsätzlich: | (pipen) wird hier verwendet um zwei Zahlen zusammenzufügen, also (1 + 2) | (3 + 4) ergibt die Zahl 37.
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Grundsätzlich: | (pipen) wird hier verwendet um zwei Zahlen zusammenzufügen, also (1 + 2) | (3 + 4) ergibt die Zahl 3 | 7 = 37.
  
 
==Multiplikation==
 
==Multiplikation==
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=== Ferrol (allgemein) ===
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a|x * b|y = (a*y + x*b) * 10 + a*b*100 + x*y
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Bsp: 48 * 29 = (4*9 + 8*2) * 10 + 4*2*100 + 8*9 = 520 + 800 + 72 = 1392
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==== Einer gleich ====
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a|x * b|x = a*b*100 + (a+b)*x*10 + x²
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Bsp: 19 * 29 = 1*2*100 + (1+2)*9*10 + 9² = 200 + 270 + 81 = 551
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==== Zehner gleich ====
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a|x * a|y = a²*100 + (x+y)*a*10 + x*y
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Bsp: 91 * 92 = 81*100 + (1+2)*9*10 + 1*2 = 8100 + 270 + 2 = 8372
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==== Spiegelzahlen ====
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a|x * x|a = a*x*101 + (a² + x²)*10
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Bsp: 91 * 19 = 1*9*101 + (1 + 81)*10 = 909 + 820 = 1729
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=== 2 stellige Quadratzahlen ===
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ab²=a²*100+20ab+b²<br>
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Bsp:<br>
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13² = 100+60+9<br>
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67² = 36*100 + 20*6*7 +49 = 3600 + 840 + 49 = 4489<br>
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a²: 100er<br>
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2ab: 10er (als erstes ausrechnen!)<br>
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===a + b = 10 => (x | a) * (x | b) = x * (x + 1) | a * b===
 
===a + b = 10 => (x | a) * (x | b) = x * (x + 1) | a * b===
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===(x + a) * (x + b) = (x + a + b) * x + a * b===
 
===(x + a) * (x + b) = (x + a + b) * x + a * b===
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  Bsp: 997 * 988 = (1000 + -3) * (1000 + -12)=(1000 - 3 - 12) * 1000 + (-3) * (-12) = 985000 + 36=985036
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  Bsp: 997 * 988 = (1000 + -3) * (1000 + -12)=(1000 - 3 - 12) * 1000 + (-3) * (-12) = 985000 + 36 = 985036
  
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==Wurzel ziehen==
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===(a | b) * (c | d) = a*b | a*d + b*c | b*d===
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{| class="wikitable" style="background:white;text-align:center"
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Bsp: 36 * 84 = 3*8 | 3*4 + 6*8 | 6*4 = 24 | 12 + 48 | 24 = 24 | 60 | 24 = 3024
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| Zahl || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 || 16 || 17 || 18 || 19 || 20 || 21 || 22 || 23 || 24 || 25 || 26 || 27 || 28 || 29 || 30 || 31 || 32
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| Quadrat || 1 || 4 || 9 || 16 || 25 || 36 || 49 || 64 || 81 || 100 || 121 || 144 || 169 || 196 || 225 || 256 || 289 || 324 || 361 || 400 || 441 || 484 || 529 || 576 || 625 || 676 || 729 || 784 || 841 || 900 || 961 || 1024
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===Multiplikation von 0 bis 12===
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<pre>Immer vorne um Z (Ziffer) 0 ergänzen
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h (halb): ohne Nachkommastellen
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N (Nachbar): Immer rechts von Z
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5: nur wenn Z ungerade
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910: immer 9 ausser beim rechtesten, da 10
  
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{| class="wikitable" style="background:white;text-align:center"
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* 0-4: *Z
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* 5: 0*Z + hN + 5
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|Quadrat von||1,9||2,8||3,7||4,6||5||0
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* 6: 1*Z + hN + 5
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* 7: 2*Z + hN + 5
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|ergibt||1||4||9||6||5||0
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* 8: 3*Z + hN + 5 oder N-2, 2*910 + N
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|}
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* 9: 4*Z + hN + 5 oder N-1, 910 + N
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*10: | 0
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*11: Z + N
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*12: 2*Z plus N
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</pre>
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==Division==
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=== Division / 9 ===
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n. Ziffer Ergebnis = Summe der ersten n Ziffern der zu dividierenden Zahl. Rest = Summe aller Ziffern. Überträge nach vorne weiterreichen.
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Bsp: 4652 / 9 = 4 | 4+6 | 4+6+5 Rest 4+6+5+2 = 4 | 10 | 15 Rest 17 = 5 | 0 | 16 Rest 8 = 516 Rest 8
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=== Division / 11 ===
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Erste Ziffer unter 2. Ziffer schreiben, unter 3. Ziffer Differenz 2. Spalte, unter 2, Ziffer Differenz (n-1). Spalte.
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Bsp: 4 3 2 5 3 4 / 11
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        4-1 3 2 1 R 3 = 3 9 3 2 1 R 3
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==Wurzel ziehen==
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sqr(zahl)~(zahl+nächstequadratzahl)/2*sqr(nächstequadratzahl)<br>
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Beispiel: Wurzel 23<br>
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sqr(23)~(23+25)/(2*sqr(25))=48/10=4.8 (statt 4.7958...)<br>
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Beispiel: Wurzel 17:<br>
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sqr(17)~(17+16)/(2*sqr(16))=33/8=4.25 (statt 4.1231...)<br>
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Wir zerteilen die Zahl in kleinere Blöcke.<br>
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==Alle von 9 und die letzte von 10==
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Beispiel: 75076<br>
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10000 - 7635 = 9-7|9-6|9-3|10-5 = 2365
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75076 = 750 | 76<br>
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Wir suchen das größte Quadrat, die 750 nicht übersteigt => 27 (weil 729 < 750 und 784  > 750)<br>
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Die 76 sagt uns das unsere gesuchte Zahl mit 4 oder 6 endet, also das Ergebnis entweder 274 oder 276 ist.<br>
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Test mit 275 (siehe oben): 275² = (27 * 28) | 25 = 75625 => zu groß => 274 ist richtig da 276 noch größer.<br>
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Wurzel aus 75076 ist 274
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Aktuelle Version vom 28. Dezember 2022, 22:01 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Grundsätzlich: | (pipen) wird hier verwendet um zwei Zahlen zusammenzufügen, also (1 + 2) | (3 + 4) ergibt die Zahl 3 | 7 = 37.

[Bearbeiten] Multiplikation

[Bearbeiten] Ferrol (allgemein)

a|x * b|y = (a*y + x*b) * 10 + a*b*100 + x*y 

Bsp: 48 * 29 = (4*9 + 8*2) * 10 + 4*2*100 + 8*9 = 520 + 800 + 72 = 1392

[Bearbeiten] Einer gleich

a|x * b|x = a*b*100 + (a+b)*x*10 + x² 

Bsp: 19 * 29 = 1*2*100 + (1+2)*9*10 + 9² = 200 + 270 + 81 = 551

[Bearbeiten] Zehner gleich

a|x * a|y = a²*100 + (x+y)*a*10 + x*y 

Bsp: 91 * 92 = 81*100 + (1+2)*9*10 + 1*2 = 8100 + 270 + 2 = 8372

[Bearbeiten] Spiegelzahlen

a|x * x|a = a*x*101 + (a² + x²)*10 

Bsp: 91 * 19 = 1*9*101 + (1 + 81)*10 = 909 + 820 = 1729

[Bearbeiten] 2 stellige Quadratzahlen

ab²=a²*100+20ab+b²

Bsp:
13² = 100+60+9

67² = 36*100 + 20*6*7 +49 = 3600 + 840 + 49 = 4489

a²: 100er
2ab: 10er (als erstes ausrechnen!)
b²: 1er

[Bearbeiten] a + b = 10 => (x | a) * (x | b) = x * (x + 1) | a * b

Bsp: 32 * 38 = (3 * 4) | (2 * 8) = 1216

Spezialfall 5: (x | 5)² = (x * (x + 1)) | 25

Bsp: 605 * 605 = (60 * 61) | 25 = 366025

[Bearbeiten] (5 | a)² = (25 + a) | a²

Bsp: 53² = (25 + 3) | 3² = 2809

[Bearbeiten] (x + y) * (x - y) = x² - y²

Bsp: 96 * 84 = (90 + 6) * (90 - 6)=90² - 6² = 8100 - 36 = 8064

[Bearbeiten] (x + a) * (x + b) = (x + a + b) * x + a * b

Bsp: 997 * 988 = (1000 + -3) * (1000 + -12)=(1000 - 3 - 12) * 1000 + (-3) * (-12) = 985000 + 36 = 985036

[Bearbeiten] (a | b) * (c | d) = a*b | a*d + b*c | b*d

Bsp: 36 * 84 = 3*8 | 3*4 + 6*8 | 6*4 = 24 | 12 + 48 | 24 = 24 | 60 | 24 = 3024

[Bearbeiten] Multiplikation von 0 bis 12

Immer vorne um Z (Ziffer) 0 ergänzen
h (halb): ohne Nachkommastellen
N (Nachbar): Immer rechts von Z
5: nur wenn Z ungerade
910: immer 9 ausser beim rechtesten, da 10

* 0-4: *Z
* 5: 0*Z + hN + 5
* 6: 1*Z + hN + 5
* 7: 2*Z + hN + 5
* 8: 3*Z + hN + 5 oder N-2, 2*910 + N
* 9: 4*Z + hN + 5 oder N-1, 910 + N
*10: | 0
*11: Z + N
*12: 2*Z plus N

[Bearbeiten] Division

[Bearbeiten] Division / 9

n. Ziffer Ergebnis = Summe der ersten n Ziffern der zu dividierenden Zahl. Rest = Summe aller Ziffern. Überträge nach vorne weiterreichen. 

Bsp: 4652 / 9 = 4 | 4+6 | 4+6+5 Rest 4+6+5+2 = 4 | 10 | 15 Rest 17 = 5 | 0 | 16 Rest 8 = 516 Rest 8

[Bearbeiten] Division / 11

Erste Ziffer unter 2. Ziffer schreiben, unter 3. Ziffer Differenz 2. Spalte, unter 2, Ziffer Differenz (n-1). Spalte. 

Bsp: 4 3 2 5 3 4 / 11
       4-1 3 2 1 R 3 = 3 9 3 2 1 R 3

[Bearbeiten] Wurzel ziehen

sqr(zahl)~(zahl+nächstequadratzahl)/2*sqr(nächstequadratzahl)

Beispiel: Wurzel 23
sqr(23)~(23+25)/(2*sqr(25))=48/10=4.8 (statt 4.7958...)

Beispiel: Wurzel 17:
sqr(17)~(17+16)/(2*sqr(16))=33/8=4.25 (statt 4.1231...)

[Bearbeiten] Alle von 9 und die letzte von 10

10000 - 7635 = 9-7|9-6|9-3|10-5 = 2365

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